题目

已知如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，E，F是斜边BC上的两点，且∠EAF=45°．那么以BE，EF，FC三条线段为边的正方形面积间有何关系？证明你的结论．

提问时间：2020-12-12

答案

BE²+FC²=EF²．理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACF绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，如图，则∠1=∠C=45°，BD=CF，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∠DAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠CAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAD=45°，即∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△AEF和△AED中

AE＝AE ∠EAF＝∠EAD AF＝AD

，
∴△AEF≌△AED，
∴EF=DE，
∵∠DBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BD²=DE²，
∴BE²+FC²=EF²．

根据等腰直角三角形的性质得∠2=∠C=45°，再把△ACF绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，如图，根据旋转的性质得∠1=∠C=45°，BD=CF，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∠DAF=90°，接着证明∠EAD=∠EAF，然后根据“SAS”可判断△AEF≌△AED，得到DE=FE；由于∠DBE=∠1+∠2=90°，根据勾股定理得BE²+BD²=DE²，然后利用等线段代换即可得到BE²+FC²=EF²．

本题考点：旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质