题目

过原点O的一直线与y=log8x的图像交于A,B两点分别过A,B作y轴的平行线与y=log2x的图象交于CD两点.
（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;
（Ⅱ）当BC平行于x轴时,求点A的坐标.

提问时间：2020-12-11

答案

（1）y=log8x的图象交于A、B两点,设这两点为(x1,log8x1)(x2,log8x2) 直线过原点,
有 log8x1/x1=log8x2/x2 ,log(2^3)x1/x1=log(2^3)x2/x2,log2x1/3x1=log2x2/3x2,log2x1/x1=log2x2/x2 ,
到此就证明了C,D两点的纵坐标/横坐标相等,
它们的比为常数k(k不等于0）,
y1=kx1,y2=kx2,这两点所决定的直线就是y=kx(k不等于0）,y=kx过原点.
（2）设通过A,B的直线为y=k1*x 将点A(x1,log8x1)代入的
k1=log8x1/x1 =1/3*log2x1/x1,y=1/3*log2x1/x1*x ,
设通过C,D的直线为y=k2*x 将点C代
得：k2=log2x1/x1 .y=log2x1/x1*x.
由题意得y(c)=y(b) 在直线函数里,
有 log2/x1*x1=1/3*log2x1/x1*x2 x1=x2/3(1)
在对数函数里：y(c)=log2x1,y(b)=log8x2 ,y(c)=y(b)
得：
log2x1=log8x2 log2(x1^3)=log2x2 x1^3=x2 (2)
将（2）代如（1）得：3x1=x1^3 x1(1)=0舍去,x1(2)=根号3 y(a)=log8(根号3）.
点A坐标为(根号3,log8(根号3)).