题目

已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．

提问时间：2020-12-11

答案

证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中

AG＝AF ∠GAE＝∠FAE AE＝AE

，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，然后再证明△AEG≌△AFE可得EF=EG，再利用勾股定理可得结论．

本题考点：勾股定理；等腰三角形的性质．

考点点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，关键是证明作出辅助线，证明△AEG≌△AFE．