题目

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，d=2，前n项和为S_n．
（Ⅰ）若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：∀n∈N^*，S_n，S_n+1，S_n+2不构成等比数列．

提问时间：2020-12-10

答案

（Ⅰ）等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d=2，
则数列的前n项和为S_n=na+n（n-1）=n²+（a-1）n．
∵S₁=a，S₂=2a+2，S₄=4a+12，S₁，S₂，S₄等比数列，
∴（2a+2）²=a（4a+12），解得a=1，
数列{a_n}的通项公式：a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=n²+（a-1）n，对n∈N^*，a∈R，
S_n•S_n+2=[n²+（a-1）n][（n+2）²+（a-1）（n+2）]
=n²（n+2）²+n²（a-1）（n+2）+（a-1）n（n+2）²+（a-1）²n（n+2）
=n（n+2）[（n+a）²-1]，
S_n+1²=[（n+1）²+（a-1）（n+1）]²
=（n+1）²（n+a）²
则S_n•S_n+2-S_n+1²=n（n+2）[（n+a）²-1]-（n+1）²（n+a）²
=-（n+a）²-n（n+2）＜0．
即对n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立，
所以∀n∈N^*，S_n，S_n+1，S_n+2不构成等比数列．