题目

单调函数必有反函数,但为何有反函数的不一定是单调函数

提问时间：2020-12-10

答案

这个应当从映射分析.
存在反函数的函数,定义域到值域是1-1对应或者叫双射.定义域和值域分别为D,B,若对于x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B.那么就叫做1-1对应或双射【注意,这里的集合已经压缩到定义域和值域了,满射就能保证了】.这样的映射关系,存在一个逆映射,即存在反函数.
若函数是单调的,无论是增还是减,都能保证x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,因此单调函数存在反函数.
但是反过来：x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,能不能推出对于所有的x∈D,存在x1＞x2,f(x1)＞f(x2),或f(x1)＜f(x2)其中一个呢?不能了.已知x1≠x2,只能确定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小关系是无法确定的.
函数单调性是存在反函数的充分非必要条件.