题目

设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系中的点
设整数n》4,P（a,b）是平面直角坐标系XOY中的点,其中a,b属于（1,2,3.n）,且a〉b
(2)记Bn为满足1/3倍的（a-b)是整数的点P的个数,求Bn.
bn=n(n-3)/6,n/3为整数,bn=(n-1)(n-2)/6,n/3非整数
江苏

提问时间：2020-12-10

答案

我们首先可以研究一下题目的意思：
因为1/3（a-b）是正整数
在坐标系中就可以画出一条直线：a-b=3（x轴画a,y轴画b）
又因为a、b是整数a大于b
a-b=3的整数点一共有n-3个 b=1 a=4; b=2 a=5; ……b=n-3 a=n
同理你可以画出a-b=6的图
a-b=6的整数点一共有n-6个 b=1 a=7; b=2 a=8; ……b=n-6 a=n
以此类推.
现在我们分3种情况：
1）n=3k+1时,由以上原理可知
Bn=（3k+1-3）+(3k+1-6)+...+(3k+1-3k)=k(3k+1)-3(1+k)k/2=k(3k-1)/2=(n-1)(n-2)/6
（n=3k+1代入）
2)n=3k+2时,同理可得
Bn=k(3k+1)/2=(n-1)(n-2)/6 （n=3k+2代入）
3)n=3k时,
Bn=（3k-3）+(3k-6)+...+(3k-3(k-1))=3k(k-1)/2=n(n-3)/6
所以可以得到答案：bn=n(n-3)/6,n/3为整数,bn=(n-1)(n-2)/6,n/3非整数（1、2合并在一起写）