题目

已知对一切实数x，

3x2+2x+2

x2+x+1

恒大于正整数k，则这样的k为 ______．

提问时间：2020-12-09

答案

依题意对∀x∈R

3x2+2x+2

x2+x+1

＞ k恒成立
∴3x²+2x+2＞k（x²+x+1）
∴（k-3）x²+（k-2）x+k-2＜0
设函数y=（k-3）x²+（k-2）x+k-2，即y恒小于0
∴

k−3＜0 △＝(k−2)2−

4(k−3)(k−2)＜0
解得 k＜2  又k为正整数，
∴k=1
故答案为1．

将分式函数恒成立问题先转化为二次函数的恒成立问题，利用二次函数的函数值恒小于0处理．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题的关键在于“转化”，先将分式函数恒成立转化为二次函数恒成立问题，再利用二次函数性质加以解决，属于基础题．