题目

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长与侧棱长的比为

2

：1，则直线AB₁与CA₁所成的角为______°．

提问时间：2020-12-09

答案

如图取AB的中点D，设侧棱长为a，
因为AD=

1

2

，A₁A=1，A₁B₁=

2

，
∴Rt△A₁AD≌Rt△B₁A₁A，∠AB₁A₁=∠AA₁D，
则A₁D⊥AB₁，又∵CD⊥AB，A₁D∩CD=D
∴AB₁⊥面A₁DC，而A₁C⊂面A₁DC
∴AB⊥A₁C，故答案为90°．

本题的两异面直线很难平移到一起求解，故将A₁C放到一个平面A₁DC，只需证明AB₁垂直平面A₁DC即可．

本题考点：异面直线及其所成的角．

考点点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及利用线面垂直的判定定理进行解题等，属于基础题．