题目

设实数a、b使方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，求a²+b²的最小值．

提问时间：2020-12-09

答案

由方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，因此方程可化为x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0．
令t=x+

1

x

，则t²+at+b-2=0，|t|≥2．
设g（t）=t²+at+b-2，（|t|≥2）．
当-

a

2

＜-2时，即a＞4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-

a

2

＞2时，即a＜-4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-2≤-

a

2

≤2时，即-4≤a≤4，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0时，此时a2+b2≥

4

5

．
∴a²+b²的最小值为

4

5

．