题目

设函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)成立.数列{an}满足a1=f（0）,且f（an+1）=1/f(-2-an)(n∈N).
（1）求证函数f（x）在R上是单调递减函数；（2）求a2007的值；
（3）若不等式（1+1/a1）（1+1/a2）...（1+1/an）≥k根号下（2n+1）对一切n∈N均成立.

提问时间：2020-12-09

答案

(1)
令x=0,y=-11>0
∴f(0-1)=f(0)f(-1)
f(-1)(1-f(0))=0
∴f(0)=1
设x1(2n+1)*(2n+3) (作差即可得出）
所以√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}>1
所以f(x+1)/f(x)>1
f(x+1)>f(x)
即此函数递增,最小值为f(1)=2/√3=2√3/3
k