题目

设四元线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩r（A）=3,η1,η2,η3均为此方程组的解,且η1+η2=(2,0,4,6)T
且η1+η2=(2,0,4,6)T,η2+η3=(1,-2,1,2)T,则方程组AX=b的通解为?

提问时间：2020-12-09

答案

AX=b为四元线性方程组,其系数矩阵A的秩r(A)=3
所以其解中所含的向量个数为4-3=1个,
η1+η2=(2,0,4,6)T,η2+η3=(1,-2,1,2)T
所以η1-η3=η1+η2 - (η2+η3)=(1,2,3,4)T
而A(η1-η3)=b-b=0,
故η1-η3=(1,2,3,4)T 是齐次方程Ax=0的解向量,
又A(η1+η2)=Aη1+Aη2=2b,
故(η1+η2)/2是Ax=b的特解,
即(η1+η2)/2=(1,0,2,3)T为Ax=b的特解,
所以方程组AX=b的通解为：
x=(1,0,2,3)T + k (1,2,3,4)T 其中k为常数