题目

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，点E在下底边BC上，点F在AB上．
（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S₁，五边形AFECD的面积记为S₂，且S₁：S₂=K求出k的最大值．

提问时间：2020-12-08

答案

（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周长，BE=x，
x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．
过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，
则△BFG∽△BAK，

BF

BA

=

FG

AK

，

18−x

10

=

FG

8

，
可得FG=

4

5

(18−x）
S_△BEF=

1

2

BE•FG＝−

2

5

x2+

36

5

x(8≤x≤12)（3分）
（2）不存在．（4分）
由（1）−

2

5

x2+

36

5

x=36，
整理得：（x-9）²=-9，此方程无解．（5分）
不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2．（6分）
k=S₁：S₂=

S1

72−S1

要使k取最大值，只需S₁取最大值．
与（1）同理，FG=

4

5

(12−x)S₁=

1

2

BE•FG＝−

2

5

x2+

24

5

x(2≤x＜12)，
当x=6时，S₁取最大值

72

5

．此时k=

1

4

∴k的最大值是

1

4

．（8分）