题目

设等比数列{a_n}的公比q＜1，前n项和为S_n．已知a₃=2，S₄=5S₂，求{a_n}的通项公式．

提问时间：2020-12-08

答案

由题设知a1≠0，Sn＝

a1(1−qn)

1−q

，
则

a1q2＝2 ① a1(1−q4) 1−q ＝5× a1(1−q2) 1−q ②

由②得1-q⁴=5（1-q²），（q²-4）（q²-1）=0，（q-2）（q+2）（q-1）（q+1）=0，
因为q＜1，解得q=-1或q=-2．
当q=-1时，代入①得a₁=2，通项公式a_n=2×（-1）^n-1；
当q=-2时，代入①得a1＝

1

2

，通项公式an＝

1

2

×(−2)n−1．

设出等比数列的首项a₁，根据等比数列的前n项和的公式和通项公式分别列出a₃=2，S₄=5S₂，联立求出a₁和q的值即可得到{a_n}的通项公式．

本题考点：等比数列的通项公式．

考点点评：考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，学生做题时注意a₁≠0这个条件及q值的多解性．