题目

设函数，其中常数a＞1，f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2020-12-08

答案

（1）f'（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（-∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）...

（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．
（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．