题目
已知fx=2cos²x-(sinx+cosx)²,若f(a/2)=根号2.a∈[-π/2,π/2]求tan(a+π/3)的值
[fx最小正周期为2π,fx解析式为根号2cos(x+π/4)]
[fx最小正周期为2π,fx解析式为根号2cos(x+π/4)]
提问时间:2020-12-08
答案
已知f(x)=2cos²x-(sinx+cosx)²,若f(α/2)=√2;α∈[-π/2,π/2];求tan(α+π/3)的值
f(x)=2cos²x-(sin²x+2sinxcosx+cos²x)=cos²x-sin²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=(√2)cos(2x+π/4);
f(α/2)=(√2)cos(α+π/4)=√2;故cos(α+π/4)=1;于是得α+π/4=0,α=-π/4.
故tan(α+π/3)=tan(-π/4+π/3)=tan(π/3-π/4)=(tan(π/3)-tan(π/4)/[1+tan(π/3)tan(π/4)]=(√3-1)/(1+√3)
=(√3-1)²/2=(4-2√3)/2=2-√3.
f(x)=2cos²x-(sin²x+2sinxcosx+cos²x)=cos²x-sin²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=(√2)cos(2x+π/4);
f(α/2)=(√2)cos(α+π/4)=√2;故cos(α+π/4)=1;于是得α+π/4=0,α=-π/4.
故tan(α+π/3)=tan(-π/4+π/3)=tan(π/3-π/4)=(tan(π/3)-tan(π/4)/[1+tan(π/3)tan(π/4)]=(√3-1)/(1+√3)
=(√3-1)²/2=(4-2√3)/2=2-√3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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