题目

如图,已知△ABC的面积为S,已知向量AB乘以向量BC=2,若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值

提问时间：2020-12-08

答案

【解】
s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|,
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB
将|BC|=3/(2 sinB)代入得
2=(-3/2)|AB|cosB/ sinB,
|AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.
由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB
=9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4
【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2
=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2
=1+1/(tanB)^2,代入上式】
上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(16/9)(tanB)^2+4
=(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式
≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2] +4+9/4
=4+4+9/4=41/4.
∴|AC|≥√41/2.
当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.
此时tanB=-3√2/4.