题目
用数学归纳法证明:cos(x/2)*cos[x/(2^2)]*…*cos[x/(2^n)]=sinx/[(2^n)*sinx/(2^n)]
我证不出来,
我证不出来,
提问时间:2020-12-07
答案
证明:
(1)当n=1时,
右边=sinx/[2*sin(x/2)]=2sin(x/2)*cos(x/2)/[2*sin(x/2)]=cos(x/2)=左边;
(2)假设当n=k时,等式成立,
即cos(x/2)*cos[x/(2^2)]*…*cos[x/(2^k)]=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)] ;
当n=k+1时,
右边=sinx/{[2^(k+1)]*sinx/[2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* {[sinx/(2^k)]/[2sinx/2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* {[2sinx/2^(k+1)*cosx/2^(k+1)]/[2sinx/2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* cosx/2^(k+1)
=cos(x/2)*cos[x/(2^2)]*…*cos[x/(2^k)]*cos[x/2^(k+1)]
=左边
(3)综上所述,原等式成立.
这题的关键是用到公式:sinx=2[sin(x/2)]*[cos(x/2)];而且是从右边证到左边,并不是常规的从左边证到右边.
(1)当n=1时,
右边=sinx/[2*sin(x/2)]=2sin(x/2)*cos(x/2)/[2*sin(x/2)]=cos(x/2)=左边;
(2)假设当n=k时,等式成立,
即cos(x/2)*cos[x/(2^2)]*…*cos[x/(2^k)]=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)] ;
当n=k+1时,
右边=sinx/{[2^(k+1)]*sinx/[2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* {[sinx/(2^k)]/[2sinx/2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* {[2sinx/2^(k+1)*cosx/2^(k+1)]/[2sinx/2^(k+1)]}
=sinx/[(2^k)*sinx/(2^k)]}* cosx/2^(k+1)
=cos(x/2)*cos[x/(2^2)]*…*cos[x/(2^k)]*cos[x/2^(k+1)]
=左边
(3)综上所述,原等式成立.
这题的关键是用到公式:sinx=2[sin(x/2)]*[cos(x/2)];而且是从右边证到左边,并不是常规的从左边证到右边.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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