题目

函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin^2的最小值为g(a),a∈R
(1.)求g(a)(为什么要分三段）
（2）若g（a）=1/2,求a及此时f（x）的最大值

提问时间：2020-12-07

答案

1)令t=cosx
则f(x)=1-2a-2at-2(1-t^2)=2t^2-2at-2a-1=2(t-a/2)^2-a^2/2-2a-1
因为|t|<=1,因此需将对称轴x=a/2分成三段来讨论g(a):
当a/2<-1时,t=-1时最小,g(a)=1
当-1=当a/2>1时,t=1时最小,g(a)=1-4a
2)由上,若a/2>1,则g(a)=1-4a=1/2,得：a=1/8,矛盾；
若-1=即只有a=-1
此时f(x)=2(t+1/2)^2+1/2
当t=1时,取最大值5.