题目

n个过同一点但不过同一条直线的平面可以将空间分成几部分?求详细解释.答案：n∧2-n+2

提问时间：2020-12-06

答案

设n个满足条件的平面将空间分成f(n)个部分
（1）容易知道,
n=1时,f(1)=2
n=2时,f(2)=4
n=3时,f(3)=8
（2）以下寻求递推关系
当有n个面时,则n个平面将空间分成f(n)个部分
再添加1个面,这个面与其他的n个面有n条交线,
这n条交线过同一点,∴将此平面(第n+1个)分成2n个部分
其中每一部分将其所在空间一分为2
则 f(n+1)=f(n)+2n
（3）
利用叠加法
则 f(n)-f(1)
=[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+[f(4)-f(3)]+[f(n)-f(n-1)]
=[(2+4+6+.+2(n-1)]
= [2+2(n-1)]*n/2
=n(n-1)
∴ f(n)=2+n(n-1)=n²-n+2