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题目
过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12
2
,则P= ___ .

提问时间:2020-12-06

答案
抛物线的焦点坐标为F(0,
p
2
),则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+
p
2

设A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1),由题意可知y1>0,y2>0
y=x+
p
2
x2=2py
,消去y得x2-2px-p2=0,
由韦达定理得,x1+x2=2p,x1x2=-p2
所以梯形ABCD的面积为:S=
1
2
(y1+y2)(x2-x1)=
1
2
(x1+x2+p)(x2-x1)=
1
2
•3p
x1+x2)  2-4x1x2
=3
2
p2
所以3
2
p2=12
2
,又p>0,所以p=2
故答案为2.
先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程,设出A,B两点的坐标,把直线与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而用A,B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p.

抛物线的标准方程;直线的一般式方程;抛物线的简单性质.

本题考查抛物线的焦点坐标,直线的方程,直线与抛物线的位置关系,考查考生的运算能力,属中档题

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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