题目

设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=2e/x(p是实数,e是自然对数的底数）
若直线l与函数F(X）,g(x)都相切,且与函数f(x)的图象相切于点（1,0),求p的值
要求用两种方法进行解答,

提问时间：2020-12-05

答案

(1)f'(x)=p+p/x^2-2/x,
设直线L的方程为y=kx+b.
与函数f（x)的图像相切于点（1,0).
则k=2p-2.
b=-k=2-2p.
所以直线方程为y=(2p-2)x+2-2p.
又直线L与函数f(X),g(X)的图像都相切,
可得交点方程为(2p-2)x+2-2p=2e/x
(2p-2)x^2+(2-2p)x-2e=0.
△=(2-2p)^2+8(2p-2)e=0
p=1(舍去)或p=1-4e.
因为p=1时,方程无解.
(2) 设直线L的方程为y=k(x-1)
因为直线L与方程g(X)的图像相切
联立g(x)=y=2e/x 和 y=k(x-1) 消去y 可得 2e=kx^2-kx
△=k^2+8ek=0 解得 k=-8e 或 k=0（舍去）
所以直线L的方程为y=-8e(x-1) 又直线L与方程F(x)的图像相切
F'（x)=p+p/x^2-2/x
所以F' (1)=2p-2=-8e 解得 p=1-4e