题目

在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．
（1）求A的大小；
（2）若BC=3，求△ABC的周长l的最大值．

提问时间：2020-12-05

答案

（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，
而sinC≠0，则cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），于是A=

2π

3

；                  
（2）记B=θ，则C=

π

3

-θ（0<θ<

π

3

），由正弦定理得

AC=2 3 sinθ AB=2 3 sin( π 3 -θ)

，
则△ABC的周长l=2

3

[sinθ+sin（

π

3

-θ）]+3=2

3

sin（θ+

π

3

）+3≤2

3

+3，
当且仅当θ=

π

6

时，周长l取最大值2

3

+3．

（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，得到cosA=−

1

2

，故A=

2π

3

．
 （2）记B=θ，则C=

π

3

-θ（0＜θ＜

π

3

），由正弦定理得

AC＝2 3 sinθ AB＝2 3 sin( π 3 −θ)

，△ABC的周长l=2

3

sin（θ+

π

3

）+3，
由正弦函数的值域求得其最大值．

本题考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题考查两角差的正弦公式，根据三角函数的值求角，正弦定理的应用，正弦函数的值域，得到△ABC的周长l=
2

3

sin（θ+

π

3

）+3，是解题的关键．