题目

数学 变限积分函数求导问题
大家一般怎么求导?谁能说下变限积分函数求导的原理吗?例如：对下面求导第一题下限0上限x函数为xf(t) 注意积分号我这打不出来,最后dt 第二题下限0上限x函数为tf(2x-t+1) 积分号省略dt
那积分怎么求出来

提问时间：2020-12-05

答案

你说的是：
（1）F(x)= ∫[0,x]xf(t)dt = x∫[0,x]f(t)dt,
　F'(x)= ∫[0,x]f(t)dt+xf(x).

（2）G(x) = ∫[0,x]tf(2x-t+1)dt,
先做变量替换u =2x-t+1,则t = 2x-u+1,dt = -du
　G(x) =∫[0,x]tf(2x-t+1)dt
　= ∫[2x+1,x+1](2x-u+1)f(u)(-1)du
= ∫[x+1,2x+1](2x-u+1)f(u)du
　 = 2x∫[x+1,2x+1]f(u)du - ∫[x+1,2x+1]uf(u)du + ∫[x+1,2x+1]f(u)du,
于是,
G'(x) = (d/dx){2x∫[x+1,2x+1]f(u)du - ∫[x+1,2x+1]uf(u)du + ∫[x+1,2x+1]f(u)du}
= ……
（用求导法则和积分上限函数的求导法来求解,这里不好写,留给你了）