题目

已知数列{an}满足a1=5,a2=5,a（n+1）=an+6a（n-1）（n≥2）.
1、求证：a（n-1）+2an 是等比数列
2、求数列 an 的通项公式
3、设3^nbn=n（3^n-an）,且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立,求m的取值.

提问时间：2020-12-04

答案

是2a（n-1）+an是等比数列吧?
1.因为a(n+1)=an+6a(n-1);所以a(n+1)+2an=3(an+2a(n-1));所以2a（n-1）+an是公比为3的等比数列.
2.2a（n-1）+an当n=2时,a1+2a2=15；又因为2a（n-1）+an是公比为3的等比数列首项为15,所以2a（n-1）+an=15*3^(n-2)=5*3^(n-1);设x为常数；则2*（a（n-1）+x*3^(n-1)）=-(an+x*3^n)得x=-1；当n=2时也成立；所以an-3^n是公比为-2首项为2的等比数列；所以an-3^n=2*（-2）^n ;
所以an=2*（-2）^n+3^n；
3.3^n*bn=-2*（-2）^n;所以bn=-2*（-2/3）^n;所以|bn|为等比数列,所以|b1|+|b2|+…+|bn|=4（1-（2/3）^n）