题目

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-2，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）如在线段OC上有一点P，且点P到点B的距离为

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，那么在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？如存在，请求出点Q的坐标；如不存在，请说明理由．

提问时间：2020-12-04

答案

（1）∵y=x²+bx+c经过点A（-2，0），B（3，0）
∴

4-2b+c=0 9+3b+c=0

．（2分）
解得

b=-1 c=-6

．
∴y=x²-x-6（2分）
（2）∵y=x²-x-6与y轴交于点c
∴c（0，6）
∴OC=6（3分）
设P（0，m）PB=

13

∴

(0-3)2+(m-0)2

=

13

∴m₁=2，m₂=-2
∴P（0，-2）（5分）
当PQ∥AC时，四边形QACP是梯形
∴

OQ

OA

=

OP

OC

∴

OQ

2

=

2

6

∴OQ=

2

3

∴Q(-

2

3

，0)（7分）
当AP∥CQ时，四边形APCQ是梯形
∴

OA

OQ

=

OP

OC

∴

2

OQ

=

2

6

∴OQ=6
∴Q（-6，0）（9分）
∴存在点Q，点Q的坐标为(-

2

3

，0)，(-6，0)．（10分）

（1）把A（-2，0），B（3，0）代入函数解析式，利用待定系数法可求得y=x²-x-6；
（2）根据题意易求得OC=6，设P（0，m），则PB＝

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，所以

(0−3)2+(m−0)2

＝

13

，解得m₁=2，m₂=-2，即P（0，-2），当PQ∥AC时，四边形QACP是梯形，利用梯形的性质可求得OQ＝

2

3

，即Q(−

2

3

，0)，当AP∥CQ时，四边形APCQ是梯形，根据梯形的性质可求得OQ=6，即Q（-6，0），所以可知点Q的坐标为（-

2

3

，0），（-6，0）．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和二次函数和方程之间的关系以及利用数形结合的方法求算线段的长度和点的坐标等．要熟练掌握才能灵活运用．