题目

已知函数y=x²+2ax+a²-1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．

提问时间：2020-12-04

答案

配方y=（x+a）²-1，
函数的对称轴为直线x=-a，
顶点坐标为（-a，-1）．
①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，
函数最小值为-1，不合题意；
②当-a＜0即a＞0时，
∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，
∴

9+6a+a2-1=24 a2-1=3

，解得a=2；
③当-a＞3即a＜-3时，
∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，
∴

a2-1=24 9+6a+a2-1=3

，解得a=-5．
∴实数a的值为2或-5．

先用配方法把函数化为顶点式的形式，求出其对称轴，再根据二次函数的增减性及题目条件将顶点的横坐标的值分三种情况讨论，从而求出实数a的值．

本题考点：二次函数的最值．

考点点评：本题考查了求二次函数的最大（小）值的方法．注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．