题目

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解，求实数k的取值范围．

提问时间：2020-12-04

答案

（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²ln|x|=f（x），∴函数f（x）为偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=x²lnx．
∴f′(x)＝2xlnx+x2×

1

x

=2x(lnx+

1

2

)，
令f^′（x）=0，解得x＝e−

1

2

．
若0＜x＜e−

1

2

，则f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
若x＞e−

1

2

，则f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
再由函数f（x）是偶函数，当x＜0时的单调性如下：
函数f（x）的单调递增区间是(−e−

1

2

，0)；单调递减区间是(−∞，e−

1

2

)．
综上可知：函数f（x）的单调递增区间是(−e−

1

2

，0)，(e−

1

2

，+∞)；
单调递减区间是(0，e−

1

2

)，(−∞，e−

1

2

)．
（3）由f（x）=kx-1，得xln|x|+

1

x

＝k，
令g（x）=xln|x|+

1

x

．
当x＞0时，g^′（x）=lnx+1−

1

x2

=lnx+

x2−1

x2

，可知g^′（1）=0．
当0＜x＜1时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＞1时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x＞0时，g（x）_min=g（1）=1．
因此关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解的k的取值范围是[1，+∞）．