题目

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设bn＝

Sn

2n

，如果对一切正整数n都有b_n≤t，求t的最小值．

提问时间：2020-12-03

答案

（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可得，na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+2n
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，（n≥2）
整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2）（*）
由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2适合（*）
故数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，a_n=2+（n-1）×2=2n
（2）由（1）可得，S_n=n（n+1），
∴bn＝

Sn

2n

＝

n(n+1)

2n

由数列的单调性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1

k(k+1) 2k ≥ (k+2)(k+1) 2k+1 k(k+1) 2k ≥ k(k−1) 2k−1

解不等式可得2≤k≤3，k∈N^*，k=2，或k=3，
b₂=b₃=

3

2

为数列{b_n}的最大项
由b_n≤t恒成立可得t≥

3

2

，则t的最小值

3

2

（1）由na_n+1=S_n+n（n+1）可得（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2），由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2
故数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求
（2）由（1）可求，S_n=n（n+1），bn＝

Sn

2n

＝

n(n+1)

2n

由数列的单调性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1，从而可求数列{b_n}的最大项，由b_n≤t恒成立可得t≥b_n的最大值，进而可求t的最小

本题考点：数列递推式；数列的函数特性．

考点点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，考查了等差数列的通项公式的应用，在数列中，恒成立的问题一般都转化为求解数列的最值问题，而解决此类问题的关键是根据数列的单调性求解数列的最大（最小）项问题．