题目

在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，且a＞b，求a、b．

提问时间：2020-12-03

答案

（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA•tanB=1．
∴tanA•tanB=12k²-37k+26=1，
即12k²-37k+25=0，可得：k₁=

25

12

，k₂=1．
又当k=1时，原方程为x²-x+1=0，其判别式△＜0，舍去．
∴k=

25

12

．
（2）当k=

25

12

时，原方程为：x2− 

25

12

x+1＝0．
又tanA+tanB=

25

12

，∴

b

a

+

a

b

=

a2+b2

ab

=

25

12

，
∴a²+b²=c²=100．∴ab=48      ①
而a²+b²=（a+b）²-2ab=100，且a+b＞0．
∴a+b=14．②
由①②得：

a＝8 b＝6

或者

a＝6 b＝8

，
又a＞b，
则a=8，b=6．

（1）因为三角形为直角三角形，并且tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可求解；（2）已知一条边c=10，且a＞b，根据互余两角三角函数的关系即可求解．

本题考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．

考点点评：本题主要考查了根与系数的关系及互余两角函数的三角关系，难度较大，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．