题目

F(x)=(x^2+x-1)^5(2x+1)^4展开式中,问所有奇次项系数的和等于多少

提问时间：2020-12-02

答案

设F(x)=a0+a1·x+a2·x^2+...+a14·x^14

1)所有项的系数和就是
F(1)=a0+a1+a2+...+a14
F(1)=1^5·3^4=3^4=81
∴  a0+a1+a2+...+a14=81  …………………………①

2)下面来求所有偶次项和所有奇次项的系数和.

所有偶次项和是a0+a2+a4+...+a14.
奇次项的系数和是a1+a3+...+a13.
F(1)=a0+a1+a2+a3+...+a14=81
F(-1)=a0-a1+a2-a3+...-a13+a44=(-1)^5·(-1)^4=-1.…………②

所有偶次项和是a0+a2+a4+...+a14
=[F(1)+F(-1)]/2=80/2=40.
奇次项的系数和是a1+a3+...+a13
=[F(1)-F(-1)]/2=82/2=41.