题目

如图，直线y=kx-2（k＞0）与双曲线y=

k

x

在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于 ___ ．

提问时间：2020-12-02

答案

∵y=kx-2，
∴当x=0时，y=-2，
当y=0时，kx-2=0，解得x=

2

k

，
所以点P（

2

k

，0），点Q（0，-2），
所以OP=

2

k

，OQ=2，
∵RM⊥x轴，
∴△OPQ∽△MPR，
∵△OPQ与△PRM的面积相等，
∴△OPQ与△PRM的相似比为1，即△OPQ≌△MPR，
∴OM=2OP=

4

k

，RM=OQ=2，
所以点R（

4

k

，2），
∵双曲线y=

k

x

经过点R，
∴

k

4 k

=2，即k²=8，
解得k₁=2

2

，k₂=-2

2

（舍去）．
故答案为：2

2

．

根据△OPQ与△PRM相似以及它们面积相等，可以得到两三角形全等，再根据一次函数求出点P、Q的坐标，进而得到OP、OQ的长度，再根据三角形全等表示出点R的坐标，代入反比例函数表达式，解方程即可求得k的值．

本题考点：反比例函数综合题．

考点点评：本题综合考查了一次函数和反比例函数图象的性质，利用三角形面积相等得到两三角形全等是解本题的突破口，也是解题的关键．