题目

去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

提问时间：2020-12-02

答案

（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，-7）
设直线AE的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则

2k+b=3 12k+b=-7

解得

k=-1 b=5

，
当y=0时，x=5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．
（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G
设点G的坐标为（x，0）
在Rt△AGD中，AG²=AD²+DG²=3²+（x-2）²
在Rt△BCG中，BG²=BC²+GC²=7²+（12-x）²
∵AG=BG，
∴3²+（x-2）²=7²+（12-x）²
解得x=9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．

（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．

本题考点：轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理．

考点点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段的垂直平分线，轴对称的作图方法．关键是明确每条线上点的性质，合理地选择．