题目

设n是满足下列条件的最小自然数:它们是75的倍数且恰有75个自然数因数(包括1和本身),求n

提问时间：2020-12-02

答案

32400
由75=3*5*5=15*5=3*25=1*75可知
恰有75个自然数因数的n具有如下形式:
n=p^2*q^4*r^4,或n=p^14*q^4,或n=p^2*q^24,或n=p^74,其中p,q,r是素数.
由n是75的倍数,则p,q,r有一个是3,另一个是5,且是5的因子的幂不小于2,为使n最小,只能是
n=5^2*3^4*2^4=25*81*16=32400