题目

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图像向右平移1个单位后得到一个偶函数的图象,
则 f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于

提问时间：2020-12-02

答案

∵f（x）是R上的偶函数,
∴图象关于y轴对称,即该函数有对称轴x=0,f（x）=f（-x） ①
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,
∴函数f（x）在右移之前有对称中心（-1,0）,即f（-1）=0,且f（-1-x）=-f（-1+x） ②
∴由①②得函数f（x）存在周期T=4,又f（2）=-1,f（-1）=0,
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0,f（2）=-1=-f（0）,f（3）=f（4-1）=0,
f（-3）=f（3）=0,f（4）=f（0）=1,
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0,
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=-1．
故选A