题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.

提问时间：2020-11-30

答案

1、∵E是PC中点,F是AC的中点,

∴EF是△PAC的中位线,

∴EF//PA,

∵PA∈平面PAD,

∴EF//平面PAD,（直线平行于两面内的直线则必平行于该平面）.

2、取AD中点M,连结PM,

PM是△PAD的中线,

∵PA=PD=√2a/2,

∴△PAD是等腰△,

∴PM⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PM⊥平面ABCD,（二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面）,

∵CD∈平面ABCD,

∴PM⊥CD,

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴CD⊥AD,

∵AD∩PM=M,

∴CD⊥平面PAD,

∵PA∈平面PAD,

∴CD⊥PA,

在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,

AD^2=a^2,

∴根据勾股定理逆定理,

△PAD是RT△,

∴PA⊥PD,

∵PD∩CD=D,

∴PA⊥平面PDC,

∵PA∈平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.