题目
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证:
(1)B1D⊥平面A1C1B;
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为H,则点H是△A1C1B的重心.
(1)B1D⊥平面A1C1B;
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为H,则点H是△A1C1B的重心.
提问时间:2020-11-30
答案
证明:(1)连B1D1,B1D1⊥A1C1,又DD1⊥面A1B1C1D1,
所以DD1⊥A1C1,A1C1⊥面D1DB1,因此A1C1⊥B1D.
同理可证B1D⊥A1B,所以B1D⊥平面A1C1B.(6分)
(2)连A1H,BH,C1H,由A1B1=BB1=C1B1,得A1H=BH=C1H,因此点H为△A1BC1的外心.
又△A1BC1为正三角形,所以H是△A1BC1的中心,
也是△A1BC1的重心.(12分)
所以DD1⊥A1C1,A1C1⊥面D1DB1,因此A1C1⊥B1D.
同理可证B1D⊥A1B,所以B1D⊥平面A1C1B.(6分)
(2)连A1H,BH,C1H,由A1B1=BB1=C1B1,得A1H=BH=C1H,因此点H为△A1BC1的外心.
又△A1BC1为正三角形,所以H是△A1BC1的中心,
也是△A1BC1的重心.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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