题目

数列an满足,an=3a(n-1)(下标)+3^n-1(n≥2),a3=95
(1)求a1,a2的值
(2)是否存在一个实数t,使得bn=1/(3^n)(an+t),bn为等差数列?若有,求出t的值.
(3)求数列an的前n项和Sn

提问时间：2020-11-30

答案

这个……我直接把通项公式先求出来吧.
（1）依题意得：an=3a(n-1)+3^n-1
两边同时除以3^n得：an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+1-1/3^n
移项得：an/3^n-a(n-1)/3^(n-1)=1-1/3^n
a(n-1)/3^(n-1)-a(n-2)/3^(n-2)=1-1/3^(n-1)
……
a2/3^2-a1/3=1-1/3^2
以上式子叠加得：an/3^n-a1/3=(n-1)-(1/9+1/27+1/81+……1/3^n)
an/3^n=a1/3+n-1-[1-(1/3)^(n-1)]/6
现在求a1、a2
根据递推公式可得：a3=3a2+26
a2=3a1+8
a3=95
解之得：a2=23,a1=5
第（1）问解决
顺便把an的通项给解决掉.
由a1=5得:an/3^n=5/3+n-1-[1-(1/3)^(n-1)]/6
两边同时乘上3^n
an=5*3^(n-1)+(n-1)*3^n-[3^(n-1)-1]/2
=3^n/2+n*3^n+1/2
（2）把an的通项公式代入bn=1/(3^n)(an+t)中:
bn=1/2+n+(1+2t)/(2*3^n)
bn-b(n-1)=1/2+n+(1+2t)/(2*3^n)-1/2-(n-1)-(1+2t)/[2*3^(n-1)]
=1-(1+2t)/3^n
显然,当t=-1/2时,bn-b(n-1)=1
此时{bn}是等差数列.
所以存在t=-1/2使得{bn}为等差数列.
（3）Sn=a1+a2+a3+……+an
因为an=3^n/2+n*3^n+1/2
所以我们分三个部分进行求和
第一部分：3/2+3^2/2+3^3/2+3^4/2+……3^n/2=[3^(n+1)-3]/4
第二部分:设Tn=1*3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+……+n*3^n
则3Tn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+4*3^5+……+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
下式减去上式得：2Tn=-(3+3^2+3^3+3^4+……+3^n)+n*3^(n+1)
所以Tn=[-(3+3^2+3^3+3^4+……+3^n)+n*3^(n+1)]/2
=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/4
第三部分：1/2+1/2+1/2+……+1/2=n/2
所以Sn=三部分和=[3^(n+1)-3]/4+n/2 +[(2n-1)*3^(n+1)+3]/4
=n/2*[3^(n+1)+1]