题目

如图，已知抛物线y=-x²+bx+9-b²（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．

提问时间：2020-11-29

答案

（1）由题意，代入原点到二次函数解析式
则9-b²=0，
解得b=±3，
由题意抛物线的对称轴大于0，

b

2

＞0，
所以b=3，
所以解析式为y=-x²+3x；
（2）设A点横坐标为m，则

3

2

＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则
3m-m²＞0且为整数，3-2m＞0且为整数，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+

1

4

-

1

4

）+6=-2（m-

1

2

）²+

13

2

，
∴当m=

1

2

时，有最大值=

13

2

，
此时点A的坐标为（

1

2

，

5

4

）；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m=

1

2

，
此时，矩形ABCD的面积=AB•BC=（3m-m²）（3-2m）=

5

2

，不是最大值．
∵当m=

3

4

时，矩形ABCD的面积=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞

5

2

．
∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．