题目

已知平面上一定点C（2,0）和直线L：Χ＝8,垂足于Q,且(向量PC＋1/2向量PQ)·（向量PC-1/2向量PQ）=0.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若EF为圆N：X平方+（y-1）平方=1的任一条直径,求向量PE·向量PF的最值

提问时间：2020-11-29

答案

(1).向量PC=(2-x,-y),PQ=(8-x,y-y)=(8-x,0)；
故PC+(1/2)PQ=(2-x+(8-x)/2,-y)=(6-(3/2)x,-y)；PC-(1/2)PQ=(2-x-(8-x)/2,-y)=(-2-x/2,-y)；
(PC+(1/2)PQ)•(PC-(1/2)PQ)=[6-(3/2)x](-2-x/2)+(-y)(-y)=-12+(3/4)x²+y²=0
故得P点的轨迹方程为 x²/16+y²/12=1,即P的轨迹是一个a=4,b=2√3,焦点在x轴上的椭圆.
（2）若EF为过圆N：x^2+(y-1)^2=1圆心的任一条直线,求PE向量•PF向量的最值.
E,F应改该在园上吧?那么EF就是直径.
把园的方程改成参数形式：x=cost,y=1+sint；
把椭圆方程也改写成参数形式：x=4cosθ,y=2(√3)sinθ；
因为EF是直径,故可设E(cost,1＋sint)；F(cos(π+t),1＋sin(π+t))=(-cost,1－sint)；
P在椭圆上,故P(4cosθ,2(√3)sinθ)；于是：
PE=(cost-4cosθ,1＋sint-2(√3)sinθ)；PF=(-cost-4cosθ,1-sint-2(√3)sinθ)；于是：
PE•PF=(cost-4cosθ)(-cost-4cosθ)+[1＋sint-2(√3)sinθ][1-sint-2(√3)sinθ]
=(-cos²t+4cosθcost-4cosθcost+16cos²θ)+[1-sin²t-2(√3)sinθ(1-sint)-2(√3)sinθ(1+sint)+12sin²θ]
=16cos²θ-4(√3)sinθ+12sin²θ=12+4cos²θ-4(√3)sinθ=12+4(1-sin²θ)-4(√3)sinθ
=-4sin²θ-4(√3)sinθ+16=-4(sin²θ+(√3)sinθ)+16=-4[(sinθ+(√3)/2)²-3/4]+16=-4[sinθ+(√3)/2]²+19
故当sinθ=-(√3)/2,即θ=-π/3或π+π/3=4π/3时,PE•PF获得最大值19；
当sinθ=1,即θ=π/2时,PE•PF获得最小值-4[1+(√3)/2]²+19=12-4√3.