题目
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
提问时间:2020-10-16
答案
证明:(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∴△BFC≌△DFC(SAS).
(2)连接BD.
∵△BFC≌△DFC,
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又∵BD是公共边,
∴△BAD≌△BED(ASA).
∴AD=DE.
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
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∴△BFC≌△DFC(SAS).
(2)连接BD.
∵△BFC≌△DFC,
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又∵BD是公共边,
∴△BAD≌△BED(ASA).
∴AD=DE.
(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF,然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC.
(2)要证明AD=DE,连接BD,证明△BAD≌△BED则可.AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF,又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF,∴∠ABD=∠EBD,BD=BD,再证明∠BDA=∠BDC则可,容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC.
(2)要证明AD=DE,连接BD,证明△BAD≌△BED则可.AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF,又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF,∴∠ABD=∠EBD,BD=BD,再证明∠BDA=∠BDC则可,容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC.
全等三角形的判定与性质;梯形.
这道题是主要考查全等三角形的判定和性质,涉及的知识比较多,有点难度.
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