题目

怎样求e的x次方比x的不定积分谢谢大家帮下忙

提问时间：2020-11-29

答案

e的x次方比x的原函数不是初等函数.证明：假设∫e^x/xdx能表示为初等函数,由刘维尔第三定理知,∫e^x/xdx=R(x)e^x+C,其中R(x)为有理函数.从而R'(x)+R(x)=1/x.（1） 记R(x）=P(x)/Q(x),其中P(x)、Q(x)为多项式,P(x)、Q(x)互质,且Q(x)不等于0.由（1）得Q(x)（P'(x)+P(x)-Q(x)/x)=P(x)Q'(x).即Q(x)（xP'(x)+xP(x)-Q(x))=xP(x)Q'(x).(2) 假设Q(x)的次数大于等于1,由代数基本定理知,Q(x)在复数域内有一根α,设其重数为r(r大于等于0),经过一番推导可知 Q(x)为常数.不妨设 Q(x)=1,则有xP'(x)+xP(x)=1.等式左边的多项式次数至少为1,而等式右边为1,矛盾.故∫e^x/xdx不能表示为初等函数.如果非要求其原函数,可利用幂级数,先将e^x/x按幂级数展开,然后再逐项积分.