题目

已知F₁，F₂是双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的下、上焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）
A.

2

B. 2
C.

3

D. 3

提问时间：2020-11-29

答案

由题意，F₁（0，-c），F₂（0，c），一条渐近线方程为y=

a

b

x，则F₂到渐近线的距离为

bc

a2+b2

=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故选：B．

首先求出F₂到渐近线的距离，利用F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．