题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n （n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列．

提问时间：2020-11-28

答案

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2×1=2；   （2分）
当n=2时，a₁+2a₂=（a₁+a₂）+4，∴a₂=4；  （5分）
当n=3时，a₁+2a₂+3a₃=2（a₁+a₂+a₃）+6，∴a₃=8．（8分）
（2）证明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②（9分）
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．（11分）
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．          （13分）
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，∴

Sn+2

Sn−1+2

=2，（14分）
故{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．   （15分）