题目

关于简谐振动的问题
为什么物体的运动参量随时间按正弦或余弦规律变化,是物体受到大小跟位移成正比,方向恒相反的合外力作用的必然结果

提问时间：2020-11-26

答案

这个问题的精确回答需要大学数学里“常微分方程”课程的知识.
首先,加速度a是位移x对时间的二阶导数,也就是a（t）＝x’’（t）.
其次,按照牛顿第二定律,合外力与加速度成正比：F（t）＝m＊a（t）.
最后,按照所给的条件,合外力与位移成正比且方向相反：F（t）＝－k＊x（t）.
综合以上三个等式得到关于位移x（t）的二阶常系数线性微分方程：
x’’（t）＝－k＊x（t）／m
这个方程的解x（t）描述了物体的运动状态.可以证明,这个方程的通解是
x（t）＝A＊sin（ω＊t＋φ）
其中A,φ为任意常数,而ω等于k／m的平方根.这就是简谐运动的方程,A与φ分别为振幅（取绝对值）与初相.