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题目
如图,在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸,正方形EFCG部分贴A型墙纸,△ABE部分贴B型墙纸,其余部分贴C型墙纸.A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元.
探究1:如果木板边长为2米,FC=1米,则一块木板用墙纸的费用需______元;
探究2:如果木板边长为1米,求一块木板需用墙纸的最省费用;
探究3:设木板的边长为a(a为整数),当正方形EFCG的边长为多少时?墙纸费用最省;如要用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰,要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米,且尽量不浪费材料,则需要这样的木板______块.

提问时间:2020-11-26

答案
(1)∵CF=1,BC=2,
∴BF=1,
∴S△ABE=
1
2
×2×1=1,S正方形EFCG=1,S空白=4-1-1=2,
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220(元);
故答案为220.
(2)设FC=xm,则BF=(1-x)m,总费用为y元,
∴S△ABE=
1
2
(1-x)×1=
1
2
(1-x),S正方形EFCG=x2,S空白=1-
1
2
(1-x)-x2=-x2+
1
2
x+
1
2

∴y=
1
2
(1-x)×80+60x2+(-x2+
1
2
x+
1
2
)•40
=20x2-20x+60 
=20(x-
1
2
2+55,
当x=
1
2
时,y最小=55元.
所以这块木板需用墙纸的最省费用为55元;
(3)设FC=xm,则BF=(a-x)m,总费用为y元,
∴S△ABE=
1
2
•(a-x)•a=
1
2
(a2-ax),S正方形EFCG=x2,S空白=a2-
1
2
(a2-ax)-x2=-x2+
1
2
ax+
1
2
a2
∴y=
1
2
(a2-ax)×80+x2•60+(-x2+
1
2
ax+
1
2
a2)•40
=20x2-20ax+60a2
∴当x=
1
2
a时,y有最小值,即墙纸费用最省;
当x≤1,则
1
2
a≤1,得a≤2,而a为正整数,得到a=1或2,
当a=1,费用为21×55=1155;当a=2,墙纸无法用尽(舍去),
所以a=1,用21块.
故答案为21.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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