题目

如图,在平面直角坐标系中,已知点A（0,2）,点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时,∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．

提问时间：2020-11-25

答案

（1）过点B作BC⊥y轴于点C,
∵A（0,2）,△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=根3 ,OC=AC=1,
即B（根3,1 ）；
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时,不失一般性,
∵∠PAQ═∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立,
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时,∠ABQ为定值90°；
（3）由（2）可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2,可求得BQ=根3 ,
由（2）可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=根3 ,
∴此时P的坐标为（-根3,0 ）．
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,
此时,若AQ∥OB,四边形AOQB即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2,可求得BQ=2根3 ,
由（2）可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2根3 ,
∴此时P的坐标为（2根3,0 ）．
综上,P的坐标为（-根3,0 ）或（2根3,0 ）．