题目
过椭圆左焦点F,倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
A.
| ||
3 |
B.
2 |
3 |
C.
1 |
2 |
D.
| ||
2 |
提问时间:2020-11-24
答案
如图,设椭圆的左准线为l,过A点作AC⊥l于C,
过点B作BD⊥l于D,再过B点作BG⊥AC于G,
直角△ABG中,∠BAG=60°,所以AB=2AG,…①
由圆锥曲线统一定义得:e=
=
,
∵FA=2FB,
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中,AG=AC-BD=
AC…②
①、②比较,可得AB=AC,
又∵AF=
AB
∴e=
=
=
故所求的离心率为
.
故选B.
过点B作BD⊥l于D,再过B点作BG⊥AC于G,
直角△ABG中,∠BAG=60°,所以AB=2AG,…①
由圆锥曲线统一定义得:e=
AF |
AC |
BF |
BD |
∵FA=2FB,
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中,AG=AC-BD=
1 |
2 |
①、②比较,可得AB=AC,
又∵AF=
2 |
3 |
∴e=
AF |
AC |
AF |
AB |
2 |
3 |
故所求的离心率为
2 |
3 |
故选B.
设椭圆的左准线为l,设A、B两点在l上的射影分别为C、D,连接AC、BD,过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义,再结合直角△ABG中,∠BAG=60°,可求出边之间的长度之比,可得离心率的值.
椭圆的简单性质.
本题考查了圆锥曲线的统一定义的应用,结合解含有60°的直角三角形,求椭圆的离心率,属于几何方法,运算量小,方便快捷.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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