题目

设f(x)在区间 [a,b]上连续,证明1/(b-a)∫f(x)dx≤(1/(b-a)∫f²(x)dx)^½

提问时间：2020-11-24

答案

本题要证明：1/(b-a)∫[a--->b] f(x)dx≤(1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx)^½
两边平方,即应证：1/(b-a)²(∫[a--->b] f(x)dx)²≤1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
即：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
由于：b-a=∫[a--->b] 1dx,因此该不等式其实是柯西-许瓦兹不等式的特例.
下面是该不等式的一个经典证法：
构造函数g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+(b-a)
由于定积分的结果为常数,因此该函数是一个二次函数
又g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+∫[a--->b] 1dx
=∫[a--->b] (t²f²(x)+2tf(x)+1) dx 注意到被积函数是一个完全平方
=∫[a--->b] (tf(x)+1)² dx
≥0
由于二次函数恒大于等于0,因此其判别式Δ≤0
得：[2∫[a--->b] f(x)dx]²-4(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx≤0
整理后即为：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx
因此原不等式得证.