题目
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在x<0上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.求f(2)的取值范围
提问时间:2020-11-24
答案
∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
∴当x=0时,f(x)取到极小值,即f'(0)=0.∴b=0.
由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f'(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=2a/3 .
∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,
∴x2=2a/3>1 ,即 a>2/3.
∴ f(2)=3a-7>-5/2
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
∴当x=0时,f(x)取到极小值,即f'(0)=0.∴b=0.
由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f'(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=2a/3 .
∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,
∴x2=2a/3>1 ,即 a>2/3.
∴ f(2)=3a-7>-5/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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