题目

已知直线l：y=x,椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为2√3
（1）椭圆C的左焦点为F1,右顶点为B,过点F1直线l的平行线l',若l'交椭圆C与M、N两点,求三角形MNB的面积

提问时间：2020-11-23

答案

由题意知：2c=2,2b=2√3,故b^2=3,a^2=4
因此椭圆的标准方程是：x^2/4+y^2/3=1
于是它的左焦点F1(-1,0),右顶点B(2,0)
又过点F1的直线l'平行于y=x,所以l'的方程为y=x+1
将y=x+1代入x^2/4+y^2/3=1中得：7x^2+8x-8=0
x1+x2=-8/7,(x1)(x2)=-8/7
进一步得y1+y2=(x1 +1)+(x2 +1)=6/7,(y1)(y2)=(x1 +1)+(x2 +1)=(x1)(x2)+(x1+x2)+1=-9/7
于是|MN|=根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=根号{[(x2+x1)^2-4(x2)(x1)]+[(y2+y1)^2-4(y2)(y1)]}
=24/7
顶点B到直线y=x+1的距离就是底边MN上的高,其值为(3/2)倍根号2,因此三角形MNB的面积为
S={(24/7)*[(3/2)倍根号2]}/2=(18/7)倍根号2